与えられた式の分母を有理化する問題です。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、以下の問題を解きます。

* 59 (1) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

* 59 (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

* 59 (3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2}$

* 59 (4) $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$

* 60 (1) $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

* 60 (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

* 60 (3) $\frac{2\sqrt{5}}{1 + \sqrt{3}}$

* 60 (4) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母に現れるルートを消す操作です。

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$を利用します。

* 59 (1) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

分母分子に$\sqrt{7} - \sqrt{3}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{7 - 3} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$

* 59 (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

分母分子に$\sqrt{5} - \sqrt{3}$をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

* 59 (3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2}$

分母分子に$\sqrt{7} + 2$をかけます。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2} \times \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{3\sqrt{14} + 6\sqrt{2}}{7 - 4} = \frac{3\sqrt{14} + 6\sqrt{2}}{3} = \sqrt{14} + 2\sqrt{2}$

* 59 (4) $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$

分母分子に$\sqrt{2} + 1$をかけます。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

* 60 (1) $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

分母分子に$\sqrt{5} + \sqrt{2}$をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}$

* 60 (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

分母分子に$\sqrt{3} + \sqrt{2}$をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + 2}{3 - 2} = \sqrt{6} + 2$

* 60 (3) $\frac{2\sqrt{5}}{1 + \sqrt{3}}$

分母分子に$1 - \sqrt{3}$をかけます。

$\frac{2\sqrt{5}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5}}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}}{1 - 3} = \frac{2\sqrt{5} - 2\sqrt{15}}{-2} = -\sqrt{5} + \sqrt{15}$

* 60 (4) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

分母分子に$\sqrt{5} - \sqrt{3}$をかけます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = 4 - \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

* 59 (1) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$

* 59 (2) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

* 59 (3) $\sqrt{14} + 2\sqrt{2}$

* 59 (4) $3 + 2\sqrt{2}$

* 60 (1) $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}$

* 60 (2) $\sqrt{6} + 2$

* 60 (3) $-\sqrt{5} + \sqrt{15}$

* 60 (4) $4 - \sqrt{15}$