与えられた数式の分母を有理化する問題です。具体的には以下の4つの問題を解きます。 (1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ (3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ (4) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた数式の分母を有理化する問題です。具体的には以下の4つの問題を解きます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

(4) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ の場合：

分母の共役な複素数は $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ なので、分母と分子に $\sqrt{7}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{1(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$

$= \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{7-3} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の場合：

分母の共役な複素数は $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ なので、分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$

$= \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{5-3} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ の場合：

分母の共役な複素数は $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ なので、分母と分子に $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})}$

$= \frac{3(\sqrt{14}+2)}{7-2} = \frac{3(\sqrt{14}+2)}{5} = \frac{3\sqrt{14}+6}{5}$

(4) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の場合：

分母の共役な複素数は $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ なので、分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$

$= \frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{5-3} = \frac{8-2\sqrt{15}}{2} = 4-\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(3) $\frac{3\sqrt{14}+6}{5}$

(4) $4-\sqrt{15}$