整式 $A$ を $x^2-x+1$ で割ると、商が $x-2$ 、余りが $3x-2$ である。このとき、整式 $A$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $A$ を $x^2-x+1$ で割ると、商が $x-2$ 、余りが $3x-2$ である。このとき、整式 $A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の除法の関係式を用いると、

$A = (\text{割る式}) \times (\text{商}) + (\text{余り})$

であるから、問題文より

$A = (x^2-x+1)(x-2) + (3x-2)$

これを展開して計算する。

まず、$(x^2-x+1)(x-2)$ を展開する。

$(x^2-x+1)(x-2) = x^3 -2x^2 - x^2 + 2x + x - 2 = x^3 -3x^2 + 3x - 2$

次に、この結果に $(3x-2)$ を足す。

$A = x^3 -3x^2 + 3x - 2 + 3x - 2 = x^3 -3x^2 + 6x - 4$

3. 最終的な答え

$A = x^3 - 3x^2 + 6x - 4$