整式 $3x^3 + 7x^2 - x - 5$ をある整式 $B$ で割ると、商が $3x-2$、余りが $2x-3$ であるという。このとき、整式 $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $3x^3 + 7x^2 - x - 5$ をある整式 $B$ で割ると、商が $3x-2$、余りが $2x-3$ であるという。このとき、整式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

整式の割り算の関係式から、

$3x^3 + 7x^2 - x - 5 = B(3x-2) + (2x-3)$

が成り立つ。

したがって、$B$ を求めるためには、まず $B(3x-2)$ を求める必要がある。

$B(3x-2) = 3x^3 + 7x^2 - x - 5 - (2x-3)$

$B(3x-2) = 3x^3 + 7x^2 - 3x - 2$

次に、$3x^3 + 7x^2 - 3x - 2$ を $3x-2$ で割ることで $B$ を求めることができる。

筆算を行う。

```

x^2 + 3x + 1

3x-2 | 3x^3 + 7x^2 - 3x - 2

-(3x^3 - 2x^2)

------------------

9x^2 - 3x

-(9x^2 - 6x)

------------------

3x - 2

-(3x - 2)

------------------

0

```

よって、

$3x^3 + 7x^2 - 3x - 2 = (3x-2)(x^2 + 3x + 1)$

したがって、

$B = x^2 + 3x + 1$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 3x + 1$