与えられた式 $4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を以下のように整理する。

$4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac$

まず、$4a^2$を$(2a)^2$と見なし、いくつかの項を調整して、$(2a+b+c)^2$の形に近づけることを試みる。

$(2a+b+c)^2 = (2a)^2 + b^2 + c^2 + 2(2a)(b) + 2(b)(c) + 2(2a)(c) = 4a^2 + b^2 + c^2 + 4ab + 2bc + 4ac$

与えられた式と比較すると、$ab$の係数が1多く、$ac$の係数が1多い。

$4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac = (4a^2 + b^2 + c^2 + 4ab + 2bc + 4ac) + ab + ac$

$= (2a+b+c)^2 + ab + ac$

残念ながら、この形では、うまく因数分解できない。

別の方法として、与えられた式を$a$に関する二次式として整理することを試みる。

$4a^2 + (5b + 5c)a + (b^2 + 2bc + c^2) = 4a^2 + 5(b+c)a + (b+c)^2$

ここで、二次方程式の解の公式を考える。因数分解できると仮定すれば、 $(pa+q)(ra+s)$ と書ける。

$pr=4, qs = (b+c)^2$であり、$ps+qr = 5(b+c)$を満たす$p,q,r,s$を探す。

$p=4, r=1$とすると、$4s+q = 5(b+c)$。$s=b+c, q=b+c$とすると、$4(b+c) + (b+c) = 5(b+c)$となる。

したがって、$4a^2 + 5(b+c)a + (b+c)^2 = (4a+(b+c))(a+(b+c))$

$4a^2 + 4a(b+c) + a(b+c) + (b+c)^2 = 4a^2 + 4ab + 4ac + ab + ac + b^2 + 2bc + c^2 = 4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac$

したがって、与えられた式は$(4a+b+c)(a+b+c)$と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(4a+b+c)(a+b+c)$