$a$ が $x^4 - x^2 + 1 = 0$ を満たすとき、$a = \text{?} $

1. 問題の内容

$a$ が $x^4 - x^2 + 1 = 0$ を満たすとき、$a = \text{?}$

2. 解き方の手順

与えられた方程式は $x^4 - x^2 + 1 = 0$ です。この式を変形して、$x^2$ についての二次方程式の形に近づけてみます。

両辺に $x^2$ を加えると

$x^4 + 2x^2 + 1 = 3x^2$

$(x^2 + 1)^2 = (\sqrt{3}x)^2$

したがって、

$x^2 + 1 = \pm \sqrt{3}x$

$x^2 - \sqrt{3}x + 1 = 0$ または $x^2 + \sqrt{3}x + 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3-4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$

または

$x = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3-4}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm i}{2}$

$x = \frac{\sqrt{3}+i}{2} = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = e^{i\frac{\pi}{6}}$

$x = \frac{\sqrt{3}-i}{2} = \cos(\frac{\pi}{6}) - i\sin(\frac{\pi}{6}) = e^{-i\frac{\pi}{6}}$

$x = \frac{-\sqrt{3}+i}{2} = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}) = e^{i\frac{5\pi}{6}}$

$x = \frac{-\sqrt{3}-i}{2} = \cos(\frac{5\pi}{6}) - i\sin(\frac{5\pi}{6}) = e^{-i\frac{5\pi}{6}}$

したがって、$a = e^{\pm i\frac{\pi}{6}}$または $a = e^{\pm i\frac{5\pi}{6}}$です。

ここで、$x^6 = (x^2)^3$ を考えると、 $x^2 = e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$ または $e^{\pm i\frac{5\pi}{3}} = e^{\pm i\frac{-\pi}{3}}$

$x^{12} = 1$

また、$x = a$ を $x^4 - x^2 + 1 = 0$ に代入すると、$a^4 - a^2 + 1 = 0$ が成り立ちます。

両辺に $a^2 + 1$ を掛けると、 $(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1) = a^6 + 1 = 0$ となります。

したがって、$a^6 = -1$ なので、$a^6 + 1 = 0$ を満たします。

$a^{12} = (a^6)^2 = (-1)^2 = 1$ です。

方程式 $a^6 = -1$ を解くことを考えます。$a^6 = e^{i\pi}$ と表現できます。

$a = e^{i(\frac{\pi + 2k\pi}{6})}$, ここで $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ です。

与えられた式 $x^4-x^2+1=0$ に対して、

$x^2 = t$ とすると、$t^2-t+1=0$ より、

$t = \frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2} = \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$

$x^2 = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$ または $x^2 = \frac{1-i\sqrt{3}}{2} = e^{-i\pi/3}$

したがって、$x = \pm e^{i\pi/6}$ または $x = \pm e^{-i\pi/6}$

ここで、 $a = e^{i\pi/6}, e^{-i\pi/6}, -e^{i\pi/6}, -e^{-i\pi/6}$ のいずれかであり、問題文は $a= ?$ と聞いているので、これらのうちどれか一つを答える必要があります。

もし、$a$ の絶対値を求められているのであれば、$|a| = 1$ です。

問題文より、$a$ が満たす値を答える必要があるので、$a^6 = -1$ を満たすことを記述します。

3. 最終的な答え

-1