与えられた式 $4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、まず、式が $(xa + yb + zc)^2$ の形になるかどうかを検討します。

$(xa + yb + zc)^2 = (xa)^2 + (yb)^2 + (zc)^2 + 2xyab + 2yzbc + 2xzac = x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 + 2xyab + 2yzbc + 2xzac$

元の式と比較すると、$x^2 = 4$, $y^2 = 1$, $z^2 = 1$ と推定できます。

したがって、$x = 2$, $y = 1$, $z = 1$ となります。

これらの値を $2xyab$, $2yzbc$, $2xzac$ に代入すると、$2xyab = 2(2)(1)ab = 4ab$, $2yzbc = 2(1)(1)bc = 2bc$, $2xzac = 2(2)(1)ac = 4ac$ となります。

しかし、与えられた式の $ab$ と $ac$ の係数はそれぞれ 5 です。

$4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac = (2a)^2 + (b)^2 + (c)^2 + 2(2a)(\frac{5}{4}b) + 2(b)(c) + 2(2a)(\frac{5}{4}c)$

$= (2a)^2 + b^2 + c^2 + 2(2a)(\frac{5}{4}b) + 2bc + 2(\frac{5}{4}c)(2a)$

与えられた式は $(2a + b + c)$ の完全な二乗の形ではありません。

しかし、以下のように式を変形してみます。

$4a^2 + b^2 + c^2 + 4ab + 2bc + 4ac + ab + ac = (2a+b+c)^2 + a(b+c)$

これは、$(2a+b+c)^2$ の形ではありませんので、別の方法を探します。

与えられた式を以下のように変形します。

$4a^2 + b^2 + c^2 + 5ab + 2bc + 5ac = 4a^2 + 4ab + 4ac + b^2 + 2bc + c^2 + ab + ac$

$= 4a^2 + 4a(b+c) + (b+c)^2 + (b+c)^2 - (b+c)^2 + b^2 + c^2 + ab + ac$

$= (2a + b + c)^2 + ab + ac$

$= (2a+b+c)^2 + a(b+c)$

この式は因数分解できません。

与えられた式を $a$ について整理すると、

$4a^2 + (5b+5c)a + b^2 + 2bc + c^2 = 4a^2 + 5(b+c)a + (b+c)^2$

となります。

この式を因数分解すると、

$4a^2 + 4(b+c)a + a(b+c) + (b+c)^2 = 4a(a+b+c) + (b+c)a + (b+c)^2$

$= 4a(a+b+c) + (b+c)(a+b+c)$

$= (4a+b+c)(a+b+c)$ となります。

3. 最終的な答え

$(4a+b+c)(a+b+c)$