問題12：方程式 $||x-1|-2|=3$ を解く。 問題13：連立方程式 $\begin{cases} 2x+y-2=0 \\ mx-y-3m+1=0 \end{cases}$ が $x>0$ かつ $y>0$ である解を持つとき、$m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題12：方程式 $||x-1|-2|=3$ を解く。

問題13：連立方程式 $\begin{cases} 2x+y-2=0 \\ mx-y-3m+1=0 \end{cases}$ が $x>0$ かつ $y>0$ である解を持つとき、$m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

問題12：

まず、$||x-1|-2|=3$ の絶対値を外す。

$|x-1|-2 = 3$ または $|x-1|-2 = -3$

場合1: $|x-1|-2 = 3$ のとき

$|x-1| = 5$

$x-1 = 5$ または $x-1 = -5$

$x = 6$ または $x = -4$

場合2: $|x-1|-2 = -3$ のとき

$|x-1| = -1$

絶対値は負にならないので、この場合は解なし。

問題13：

連立方程式を解く。まず、2つの式を足し合わせる。

$(2x+y-2) + (mx-y-3m+1) = 0$

$(2+m)x - 3m - 1 = 0$

$(2+m)x = 3m+1$

$x = \frac{3m+1}{2+m}$

$x>0$ より $\frac{3m+1}{2+m} > 0$

次に、$y$ について解く。

$y = 2 - 2x = 2 - 2\left(\frac{3m+1}{2+m}\right) = 2\left(\frac{2+m}{2+m}\right) - 2\left(\frac{3m+1}{2+m}\right) = \frac{4+2m-6m-2}{2+m} = \frac{2-4m}{2+m}$

$y>0$ より $\frac{2-4m}{2+m} > 0$

$\frac{3m+1}{2+m} > 0$ を解く。

$3m+1 > 0$ かつ $2+m > 0$ または $3m+1 < 0$ かつ $2+m < 0$

$m > -\frac{1}{3}$ かつ $m > -2$ または $m < -\frac{1}{3}$ かつ $m < -2$

$m > -\frac{1}{3}$ または $m < -2$

$\frac{2-4m}{2+m} > 0$ を解く。

$2-4m > 0$ かつ $2+m > 0$ または $2-4m < 0$ かつ $2+m < 0$

$m < \frac{1}{2}$ かつ $m > -2$ または $m > \frac{1}{2}$ かつ $m < -2$

$-2 < m < \frac{1}{2}$

$m > -\frac{1}{3}$ または $m < -2$ と $-2 < m < \frac{1}{2}$ の共通範囲を求める。

$-\frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

問題12：$x = 6, -4$

問題13：$-\frac{1}{3} < m < \frac{1}{2}$