数列 $\{a_n\}$ に関する問題です。 (1) $a_1 = 1, p = \frac{1}{2}$ のとき、$a_2$ の値を求め、数列 $\{a_n\}$ が等比数列であることを示し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (2) $\frac{a_n - a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}} = p$ を整理して、$a_{n+1}$ を $a_n$ で表し、数列 $\{a_n\}$ が等比数列であることを示します。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解答していきます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ に関する問題です。

(1) $a_1 = 1, p = \frac{1}{2}$ のとき、$a_2$ の値を求め、数列 $\{a_n\}$ が等比数列であることを示し、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

(2) $\frac{a_n - a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}} = p$ を整理して、$a_{n+1}$ を $a_n$ で表し、数列 $\{a_n\}$ が等比数列であることを示します。

2. 解き方の手順

(1) (i)

与えられた漸化式 $\frac{a_n - a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}} = p$ に、$n = 1, a_1 = 1, p = \frac{1}{2}$ を代入します。

$\frac{1 - a_2}{1 + a_2} = \frac{1}{2}$

$2(1 - a_2) = 1 + a_2$

$2 - 2a_2 = 1 + a_2$

$3a_2 = 1$

$a_2 = \frac{1}{3}$

(ii)

漸化式 $\frac{a_n - a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}} = \frac{1}{2}$ を変形します。

$2(a_n - a_{n+1}) = a_n + a_{n+1}$

$2a_n - 2a_{n+1} = a_n + a_{n+1}$

$a_n = 3a_{n+1}$

$a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n$

よって、数列 $\{a_n\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列です。

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3^n} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$

$S_n = \frac{3(3^n-1)}{2 \cdot 3^n}$

(2)

$\frac{a_n - a_{n+1}}{a_n + a_{n+1}} = p$ を変形します。

$a_n - a_{n+1} = p(a_n + a_{n+1})$

$a_n - a_{n+1} = pa_n + pa_{n+1}$

$a_n - pa_n = pa_{n+1} + a_{n+1}$

$(1 - p)a_n = (1 + p)a_{n+1}$

$a_{n+1} = \frac{1 - p}{1 + p} a_n$

よって、数列 $\{a_n\}$ は公比 $\frac{1 - p}{1 + p}$ の等比数列です。

3. 最終的な答え

(1)

(i) $a_2 = \frac{1}{3}$

(ii) $a_{n+1} = \frac{1}{3} a_n$

数列 $\{a_n\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。

$S_n = \frac{3(3^n-1)}{2 \cdot 3^n}$

(2)

$a_{n+1} = \frac{1 - p}{1 + p} a_n$

数列 $\{a_n\}$ は公比 $\frac{1 - p}{1 + p}$ の等比数列である。