$a = \frac{1}{\sqrt{5}-2} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$ とし、$a$ の小数部分を $b$ とする。不等式 $(4-a)x < b^3 + 9$ を満たす最小の整数 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{\sqrt{5}-2} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$ とし、$a$ の小数部分を $b$ とする。不等式 $(4-a)x < b^3 + 9$ を満たす最小の整数 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$ を簡単にします。各項の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})(\sqrt{5}-\sqrt{6})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{5-6} = -\sqrt{5}+\sqrt{6}$

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{7}}{(\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{6}-\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{7}}{6-7} = -\sqrt{6}+\sqrt{7}$

したがって、

$a = (\sqrt{5}+2) + (-\sqrt{5}+\sqrt{6}) + (-\sqrt{6}+\sqrt{7}) = \sqrt{7} + 2$

$\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{7} < 3$ 。

よって、$4 < \sqrt{7} + 2 < 5$ なので、$a$ の整数部分は4です。

$a$ の小数部分 $b$ は、$b = a - 4 = (\sqrt{7} + 2) - 4 = \sqrt{7} - 2$

次に、不等式 $(4-a)x < b^3 + 9$ に $a = \sqrt{7}+2$ と $b = \sqrt{7}-2$ を代入します。

$(4-(\sqrt{7}+2))x < (\sqrt{7}-2)^3 + 9$

$(2-\sqrt{7})x < (\sqrt{7}-2)^3 + 9$

$(\sqrt{7}-2)^3 = (\sqrt{7})^3 - 3(\sqrt{7})^2(2) + 3(\sqrt{7})(2)^2 - 2^3 = 7\sqrt{7} - 42 + 12\sqrt{7} - 8 = 19\sqrt{7} - 50$

$(2-\sqrt{7})x < 19\sqrt{7} - 50 + 9$

$(2-\sqrt{7})x < 19\sqrt{7} - 41$

両辺に $(-1)$ をかけて不等号の向きを変え、

$(\sqrt{7}-2)x > 41 - 19\sqrt{7}$

$x > \frac{41 - 19\sqrt{7}}{\sqrt{7}-2} = \frac{(41 - 19\sqrt{7})(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{41\sqrt{7} + 82 - 19(7) - 38\sqrt{7}}{7-4} = \frac{3\sqrt{7} + 82 - 133}{3} = \frac{3\sqrt{7} - 51}{3} = \sqrt{7} - 17$

$\sqrt{7}$ は約2.6なので、$\sqrt{7}-17$は約-14.4です。

したがって、$x > \sqrt{7}-17$を満たす最小の整数は $-14$です。

3. 最終的な答え

-14