与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $a^2b + a - b - 1$ (3) $4 - 4y + 2xy - x^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $a^2b + a - b - 1$

(3) $4 - 4y + 2xy - x^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、最初の2項と後の2項をそれぞれまとめます。

$a^2b + a - b - 1 = a(ab + 1) - (b + 1)$

しかし、これでは因数分解できません。

別の方法を試します。最初の項と3番目の項を、2番目の項と4番目の項をまとめます。

$a^2b - b + a - 1 = b(a^2 - 1) + (a - 1)$

$a^2 - 1$ は $(a + 1)(a - 1)$ と因数分解できます。

よって、

$b(a^2 - 1) + (a - 1) = b(a + 1)(a - 1) + (a - 1)$

$(a - 1)$ でくくります。

$b(a + 1)(a - 1) + (a - 1) = (a - 1)(b(a + 1) + 1)$

$(a - 1)$ を分配します。

$(a - 1)(ab + b + 1)$

(3)

与えられた式は $4 - 4y + 2xy - x^2$ です。

まず、定数項以外を整理します。

$4 - (x^2 - 2xy + 4y)$

$4 - x^2 - 4y + 2xy = -(x^2 - 2xy + y^2) - 4y + y^2 + 4 = -(x-y)^2 + y^2 - 4y + 4 = -(x-y)^2 + (y-2)^2$

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を使って因数分解します。

$-(x-y)^2 + (y-2)^2 = (y-2 + (x-y))(y-2 - (x-y)) = (y - 2 + x - y)(y - 2 - x + y) = (x - 2)(2y - x - 2)$

3. 最終的な答え

(1) $(a - 1)(ab + b + 1)$

(3) $(x - 2)(2y - x - 2)$