$a > 0, b > 0$のとき、以下の不等式が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べる。 (1) $a + \frac{9}{a} \geq 6$ (2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

1. 問題の内容

$a > 0, b > 0$のとき、以下の不等式が成り立つことを証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

(1) $a + \frac{9}{a} \geq 6$

(2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

2. 解き方の手順

(1) 相加平均と相乗平均の関係を利用する。$a > 0$なので、$a$と$\frac{9}{a}$はともに正の数である。

相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{a + \frac{9}{a}}{2} \geq \sqrt{a \cdot \frac{9}{a}}$

$\frac{a + \frac{9}{a}}{2} \geq \sqrt{9}$

$\frac{a + \frac{9}{a}}{2} \geq 3$

$a + \frac{9}{a} \geq 6$

したがって、$a + \frac{9}{a} \geq 6$が成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = \frac{9}{a}$のとき。つまり、$a^2 = 9$となるので、$a = 3$（$a>0$より）。

(2) 相加平均と相乗平均の関係を利用する。$a > 0, b > 0$なので、$\frac{a}{b}$と$\frac{b}{a}$はともに正の数である。

相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{2} \geq \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}}$

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{2} \geq \sqrt{1}$

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{2} \geq 1$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

したがって、$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$が成り立つ。

等号が成り立つのは、$\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$のとき。つまり、$a^2 = b^2$となるので、$a = b$（$a>0, b>0$より）。

3. 最終的な答え

(1) $a + \frac{9}{a} \geq 6$　等号成立は$a=3$のとき。

(2) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$　等号成立は$a=b$のとき。