4次正方行列 $A=[a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、与えられた各項の係数につける符号を決定する問題です。

1. 問題の内容

4次正方行列 $A=[a_{ij}]$ の行列式 $|A|$ において、与えられた各項の係数につける符号を決定する問題です。

2. 解き方の手順

行列式の項の符号は、行と列の置換の偶奇性によって決定されます。

各項について、行と列の番号を並べ、置換の互換の回数を数えます。

互換の回数が偶数なら符号は正（+）、奇数なら負（-）です。

(1) $a_{13}a_{22}a_{34}a_{41}$

行の番号は1, 2, 3, 4で順序通り。列の番号は3, 2, 4, 1。

置換 (3 2 4 1) を標準の順序 (1 2 3 4) に並べ替えるのに必要な互換の回数を数える。

(3 2 4 1) -> (3 2 1 4) -> (3 1 2 4) -> (1 3 2 4) -> (1 3 4 2) -> (1 2 4 3) -> (1 2 3 4)

互換の回数は6回なので、偶置換となり、符号は+です。

(2) $a_{12}a_{23}a_{31}a_{44}$

行の番号は1, 2, 3, 4で順序通り。列の番号は2, 3, 1, 4。

置換 (2 3 1 4) を標準の順序 (1 2 3 4) に並べ替えるのに必要な互換の回数を数える。

(2 3 1 4) -> (2 1 3 4) -> (1 2 3 4)

互換の回数は2回なので、偶置換となり、符号は+です。

(3) $a_{12}a_{24}a_{31}a_{43}$

行の番号は1, 2, 3, 4で順序通り。列の番号は2, 4, 1, 3。

置換 (2 4 1 3) を標準の順序 (1 2 3 4) に並べ替えるのに必要な互換の回数を数える。

(2 4 1 3) -> (2 1 4 3) -> (1 2 4 3) -> (1 2 3 4)

互換の回数は3回なので、奇置換となり、符号は-です。

3. 最終的な答え

(1) +

(2) +

(3) -