(1) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。 (2) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ を計算します。 (3) $(-\frac{ab^2}{6})^2 \times \frac{8a^2b}{45} \div (\frac{a^2b}{3})^3$ を計算します。 (4) $\sqrt{2024}$ の整数部分を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に回答を作成します。

1. 問題の内容

(1) $x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ を計算します。

(3) $(-\frac{ab^2}{6})^2 \times \frac{8a^2b}{45} \div (\frac{a^2b}{3})^3$ を計算します。

(4) $\sqrt{2024}$ の整数部分を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x} = 3$ の両辺を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$を展開します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$

$(5 + 2\sqrt{6}) - (5 - 2\sqrt{6}) = 5 + 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

(3) $(-\frac{ab^2}{6})^2 \times \frac{8a^2b}{45} \div (\frac{a^2b}{3})^3$ を計算します。

$(-\frac{ab^2}{6})^2 = \frac{a^2b^4}{36}$

$(\frac{a^2b}{3})^3 = \frac{a^6b^3}{27}$

$\frac{a^2b^4}{36} \times \frac{8a^2b}{45} \div \frac{a^6b^3}{27} = \frac{a^2b^4}{36} \times \frac{8a^2b}{45} \times \frac{27}{a^6b^3} = \frac{a^4b^5}{1620} \times \frac{27}{a^6b^3} = \frac{27a^4b^5}{1620a^6b^3} = \frac{b^2}{60a^2}$

(4) $\sqrt{2024}$ の整数部分を求めます。

$44^2 = 1936$

$45^2 = 2025$

$44 < \sqrt{2024} < 45$

したがって、$\sqrt{2024}$ の整数部分は44です。

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) $4\sqrt{6}$

(3) $\frac{b^2}{60a^2}$

(4) 44