与えられた式 $x^2 - 9y + 3xy - 9$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 9y + 3xy - 9$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して、共通因数を見つけやすくします。

$x^2 - 9y + 3xy - 9 = x^2 + 3xy - 9y - 9$

次に、式を2つのグループに分けて、それぞれのグループで共通因数を見つけます。

$(x^2 + 3xy) + (-9y - 9)$

最初のグループ $x^2 + 3xy$ から共通因数 $x$ を取り出すと、

$x(x + 3y)$

次のグループ $-9y - 9$ から共通因数 $-9$ を取り出すと、

$-9(y + 1)$

ここで、元の式は $x(x + 3y) - 9(y+1)$ となりましたが、まだ因数分解は完了していません。

ここで、式の順番を入れ替えてみます。

$x^2 + 3xy - 9y - 9 = x^2 - 9 + 3xy - 9y$

$x^2 - 9$ は $(x-3)(x+3)$ と因数分解できます。

$3xy - 9y$ は $3y(x-3)$ と因数分解できます。

したがって、式は

$x^2 - 9 + 3xy - 9y = (x-3)(x+3) + 3y(x-3)$

これで共通因数 $(x-3)$ が見つかりました。式全体から $(x-3)$ をくくり出すと、

$(x-3)(x+3 + 3y)$

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+3y+3)$