(1) $a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、$a - \frac{1}{a}$ の値を求めよ。 (2) $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、① $x^3 - 2x^2$ と ② $x^4 - 3x^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、$a - \frac{1}{a}$ の値を求めよ。

(2) $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、① $x^3 - 2x^2$ と ② $x^4 - 3x^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a + \frac{1}{a} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(a + \frac{1}{a})^2 = 3^2$

$a^2 + 2(a)(\frac{1}{a}) + \frac{1}{a^2} = 9$

$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$

$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2(a)(\frac{1}{a}) + \frac{1}{a^2} = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}$

$(a - \frac{1}{a})^2 = (a^2 + \frac{1}{a^2}) - 2 = 7 - 2 = 5$

したがって、$a - \frac{1}{a} = \pm \sqrt{5}$

(2)

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ より、

$2x = 3 - \sqrt{5}$

$2x - 3 = - \sqrt{5}$

両辺を2乗すると、

$(2x - 3)^2 = (-\sqrt{5})^2$

$4x^2 - 12x + 9 = 5$

$4x^2 - 12x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

$x^2 = 3x - 1$

① $x^3 - 2x^2$ の値を求める。

$x^3 - 2x^2 = x(x^2) - 2x^2 = x(3x - 1) - 2x^2 = 3x^2 - x - 2x^2 = x^2 - x$

$x^2 - x = (3x - 1) - x = 2x - 1 = 2(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) - 1 = 3 - \sqrt{5} - 1 = 2 - \sqrt{5}$

② $x^4 - 3x^3$ の値を求める。

$x^4 - 3x^3 = x^2(x^2) - 3x^3 = x^2(3x - 1) - 3x^3 = 3x^3 - x^2 - 3x^3 = -x^2 = -(3x - 1) = -3x + 1$

$-3x + 1 = -3(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) + 1 = \frac{-9 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{2} = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a - \frac{1}{a} = \pm \sqrt{5}$

(2) ① $x^3 - 2x^2 = 2 - \sqrt{5}$

② $x^4 - 3x^3 = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}$