2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ が2つの解を持ち、その2つの解がともに1より小さいような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ が2つの解を持ち、その2つの解がともに1より小さいような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。

この問題の条件を満たすためには、以下の3つの条件が同時に成り立つ必要がある。

(i) 判別式 $D \geq 0$ （実数解を持つ条件）

(ii) 軸の位置 < 1

(iii) $f(1) > 0$

(i) 判別式について

$D = (-2a)^2 - 4(a + 6) = 4a^2 - 4a - 24 = 4(a^2 - a - 6) = 4(a-3)(a+2)$

$D \geq 0$ より、$(a-3)(a+2) \geq 0$。

したがって、$a \leq -2$ または $a \geq 3$ ... (1)

(ii) 軸の位置について

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$ より、軸は $x = a$

$a < 1$ ... (2)

(iii) $f(1) > 0$ について

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + a + 6 = 1 - 2a + a + 6 = -a + 7$

$-a + 7 > 0$ より、$a < 7$ ... (3)

(1), (2), (3) の共通範囲を求める。

$a \leq -2$ または $a \geq 3$ かつ $a < 1$ かつ $a < 7$

よって、$a \leq -2$

3. 最終的な答え

$a \leq -2$