$x+y=1$ のとき、等式 $x^2+y^2 = x+y-2xy$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$x+y=1$ のとき、等式 $x^2+y^2 = x+y-2xy$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $x+y=1$ を利用して、等式 $x^2+y^2 = x+y-2xy$ の左辺を変形し、右辺に等しくなることを示す。

まず、$x+y=1$ を変形し、$y=1-x$を得ます。

次に、$x^2+y^2$ に $y=1-x$ を代入して変形します。

$x^2+y^2 = x^2+(1-x)^2$

$= x^2 + (1 - 2x + x^2)$

$= 2x^2 - 2x + 1$

一方、右辺 $x+y-2xy$ に $x+y=1$ と $y=1-x$ を代入して変形します。

$x+y-2xy = 1 - 2x(1-x)$

$= 1 - 2x + 2x^2$

$= 2x^2 - 2x + 1$

左辺と右辺が等しいことが示されました。

3. 最終的な答え

$x+y=1$ のとき、$x^2+y^2 = x+y-2xy$ が成り立つ。