$\sqrt{2} = 1.4142$ であるとき、以下の式の値を分母の有理化を利用して求める。 (1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

1. 問題の内容

$\sqrt{2} = 1.4142$ であるとき、以下の式の値を分母の有理化を利用して求める。

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の場合

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2}$ を掛ける。

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$\sqrt{2} = 1.4142$ を代入する。

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1.4142}{2} = 0.7071$$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$ の場合

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{2}+1$ を掛ける。

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2} \times (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1) \times (\sqrt{2}+1)}$$

$$= \frac{\sqrt{2}\sqrt{2} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - 1} = \frac{2 + \sqrt{2}}{1} = 2 + \sqrt{2}$$

$\sqrt{2} = 1.4142$ を代入する。

$$2 + \sqrt{2} = 2 + 1.4142 = 3.4142$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.7071$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = 3.4142$