$a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、$a - \frac{1}{a}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a + \frac{1}{a} = 3$ のとき、$a - \frac{1}{a}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a - \frac{1}{a}$ を2乗したものを考えます。

$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2(a)(\frac{1}{a}) + (\frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}$

次に、$a + \frac{1}{a}$ を2乗したものを考えます。

$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2(a)(\frac{1}{a}) + (\frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$

$a + \frac{1}{a} = 3$ より、

$(a + \frac{1}{a})^2 = 3^2 = 9$

$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9$

$a^2 + \frac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7$

$(a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = (a^2 + \frac{1}{a^2}) - 2 = 7 - 2 = 5$

$(a - \frac{1}{a})^2 = 5$ より、

$a - \frac{1}{a} = \pm \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\pm \sqrt{5}$