$a+b+c=0$ のとき、以下の等式を証明する。 (1) $(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$ (2) $a^3+b^3+c^3-3abc = 0$

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、以下の等式を証明する。

(1) $(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$

(2) $a^3+b^3+c^3-3abc = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$a+b+c=0$ より、$a+b = -c$, $b+c = -a$, $c+a = -b$ が成り立つ。

よって、

$(a+b)(b+c)(c+a) = (-c)(-a)(-b) = -abc$

したがって、$(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$ が成り立つ。

(2)

$a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解する。

$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

ここで、$a+b+c = 0$ なので、

$a^3+b^3+c^3-3abc = 0 \times (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$

したがって、$a^3+b^3+c^3-3abc = 0$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a) = -abc$ が証明された。

(2) $a^3+b^3+c^3-3abc = 0$ が証明された。