4次方程式 $x^4 - 7x^2 + 1 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 7x^2 + 1 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

この方程式は複二次式なので、$x^2 = t$ とおくと、$t^2 - 7t + 1 = 0$ となります。これを $t$ について解きます。

解の公式より、

$$t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$$

$t = x^2$ なので、

$x^2 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$ または $x^2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$

$x = \pm \sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}}$ または $x = \pm \sqrt{\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}}$

ここで、$\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{9 + 5 + 2(3)(\sqrt{5})}{4} = \frac{(3 + \sqrt{5})^2}{4}$

$\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{4} = \frac{9 + 5 - 2(3)(\sqrt{5})}{4} = \frac{(3 - \sqrt{5})^2}{4}$

したがって、

$x = \pm \sqrt{\frac{(3 + \sqrt{5})^2}{4}} = \pm \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$x = \pm \sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})^2}{4}} = \pm \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \pm \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \pm \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$