(1) $\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}}$ を計算する。 (2) $x = a^2 + 1$, $a = \sqrt{5} - 2$ のとき、$\sqrt{x+2a} + \sqrt{x-2a}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}}$ を計算する。

(2) $x = a^2 + 1$, $a = \sqrt{5} - 2$ のとき、$\sqrt{x+2a} + \sqrt{x-2a}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$A = \sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}}$ とおく。

$A^2$ を計算する。

$A^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}})^2$

$A^2 = (3+\sqrt{5}) + 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} + (3-\sqrt{5})$

$A^2 = 6 + 2\sqrt{9-5} = 6 + 2\sqrt{4} = 6 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10$

$A = \sqrt{10}$

ただし、$A > 0$ なので、$A = \sqrt{10}$。

(2)

$x = a^2 + 1$, $a = \sqrt{5}-2$

$x = (\sqrt{5}-2)^2 + 1 = (5 - 4\sqrt{5} + 4) + 1 = 10 - 4\sqrt{5}$

$\sqrt{x+2a} + \sqrt{x-2a}$ を計算する。

$\sqrt{x+2a} = \sqrt{10 - 4\sqrt{5} + 2(\sqrt{5}-2)} = \sqrt{10 - 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 4} = \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$

$\sqrt{x-2a} = \sqrt{10 - 4\sqrt{5} - 2(\sqrt{5}-2)} = \sqrt{10 - 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4} = \sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$

$\sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{5} + 1} = \sqrt{(\sqrt{5}-1)^2} = \sqrt{5}-1$

$\sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{9 - 6\sqrt{5} + 5} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = 3-\sqrt{5}$

$\sqrt{x+2a} + \sqrt{x-2a} = (\sqrt{5}-1) + (3-\sqrt{5}) = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{10}$

(2) $2$