次の2つの不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。 (1) $x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$ (2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

(1) $x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$

(2) $x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

まず、$x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$を証明する。

この不等式を変形すると、

$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 \geq 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) \geq 0$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0$

$(x - 1)^2$と$(y - 1)^2$はどちらも実数の二乗であるため、必ず0以上になる。したがって、$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geq 0$は成り立つ。

等号が成り立つのは、$(x - 1)^2 = 0$かつ$(y - 1)^2 = 0$のとき、つまり$x = 1$かつ$y = 1$のときである。

(2) 不等式の証明

次に、$x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$を証明する。

この不等式を変形すると、

$x^2 + 2xy + y^2 + y^2 \geq 0$

$(x + y)^2 + y^2 \geq 0$

$(x + y)^2$と$y^2$はどちらも実数の二乗であるため、必ず0以上になる。したがって、$(x + y)^2 + y^2 \geq 0$は成り立つ。

等号が成り立つのは、$(x + y)^2 = 0$かつ$y^2 = 0$のとき、つまり$x + y = 0$かつ$y = 0$のときである。これを解くと、$x = 0$かつ$y = 0$となる。

3. 最終的な答え

(1) 不等式$x^2 + y^2 \geq 2(x + y - 1)$は成り立つ。等号が成り立つのは、$x = 1$かつ$y = 1$のとき。

(2) 不等式$x^2 + 2xy + 2y^2 \geq 0$は成り立つ。等号が成り立つのは、$x = 0$かつ$y = 0$のとき。