$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を $(a-b)^2$ の形に変形することを考えます。

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ なので、$12 - 8\sqrt{2} = a^2 - 2ab + b^2$となるような $a$ と $b$ を探します。

$8\sqrt{2}$ の部分から、$2ab = 8\sqrt{2}$、つまり、$ab = 4\sqrt{2}$ となります。

ここで、$a$ と $b$ を $a=4$、$b=\sqrt{2}$ と仮定してみます。

すると、$a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18$ となり、$12$ に一致しません。

別の方法として、$a = 2\sqrt{2}$, $b = 2$ としてみます。

すると、$2ab = 2(2\sqrt{2})(2) = 8\sqrt{2}$ となり、$a^2 + b^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2^2 = 8 + 4 = 12$ となり、条件を満たします。

したがって、$12 - 8\sqrt{2} = (2\sqrt{2} - 2)^2$ となります。

すると、

$\sqrt{12 - 8\sqrt{2}} = \sqrt{(2\sqrt{2} - 2)^2} = |2\sqrt{2} - 2|$

$2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 > 2$ なので、$2\sqrt{2} - 2 > 0$ です。

よって、$|2\sqrt{2} - 2| = 2\sqrt{2} - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - 2$