$(\sqrt{2}+1)^3$を計算しなさい。

1. 問題の内容

$(\sqrt{2}+1)^3$を計算しなさい。

2. 解き方の手順

$(\sqrt{2}+1)^3$ を計算するために、二項定理または $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の公式を利用します。

ここでは、後者の公式を使います。

$a = \sqrt{2}$, $b = 1$ とすると、

$(\sqrt{2}+1)^3 = (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1)^2 + (1)^3$

$= 2\sqrt{2} + 3(2) + 3\sqrt{2} + 1$

$= 2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1$

$= (2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) + (6 + 1)$

$= 5\sqrt{2} + 7$

$= 7 + 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$7 + 5\sqrt{2}$