関数 $y = x^2 - 4x + a$ において、$1 \le x \le 5$ の範囲での最大値が 6 であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + a$ において、$1 \le x \le 5$ の範囲での最大値が 6 であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + a = (x - 2)^2 - 4 + a$

このことから、頂点の座標は $(2, -4+a)$ であることがわかります。

次に、定義域 $1 \le x \le 5$ におけるグラフの形状を考慮します。

この二次関数は $x=2$ を軸とする下に凸な放物線です。

定義域内で $x=2$ を含むので、頂点で最小値をとり、$x=5$ で最大値をとります。

よって、$x=5$ での関数値が 6 となることから、$a$ の値を求めます。

$x=5$ を関数に代入すると、

$y = (5-2)^2 - 4 + a = 9 - 4 + a = 5 + a$

最大値が 6 なので、$5 + a = 6$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 6 - 5 = 1$

したがって、$a = 1$ が答えです。