## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) $a = \sqrt[3]{4}$, $b = (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}}$, $c = (\sqrt{2})^{\frac{1}{3}}$ を小さい順に並べよ。

(2) 不等式 $4^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 32 > 0$ を解け。

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2. 解き方の手順

(1) 指数の形に統一して比較する。

$a = \sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

$b = (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}} = (2^{-1})^{-\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}}$

$c = (\sqrt{2})^{\frac{1}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6}}$

指数部分を比較すると $\frac{1}{6} < \frac{1}{3} < \frac{2}{3}$ なので、$c < b < a$ となる。

(2) $4^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 32 > 0$ を解く。

$4^x = (2^x)^2$ であり、$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$ なので、不等式は

$(2^x)^2 - 3 \cdot 4 \cdot 2^x + 32 > 0$

$(2^x)^2 - 12 \cdot 2^x + 32 > 0$

ここで、$t = 2^x$ とおくと、$t > 0$ であり、不等式は

$t^2 - 12t + 32 > 0$

$(t - 4)(t - 8) > 0$

$t < 4$ または $8 < t$ となる。

$t = 2^x$ なので、$2^x < 4$ または $8 < 2^x$

$2^x < 2^2$ または $2^3 < 2^x$

よって、$x < 2$ または $3 < x$ となる。

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3. 最終的な答え

(1) $c < b < a$

(2) $x < 2$, $3 < x$