次の方程式を解く問題です。 (1) $2^x = 32$ (2) $81^x = \frac{1}{9}$ (3) $25^x = 125^{x-1}$ (4) $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{81}$ (5) $32^x = 8$ (6) $16^{1-x} = (\frac{1}{64})^{x+1}$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $2^x = 32$

(2) $81^x = \frac{1}{9}$

(3) $25^x = 125^{x-1}$

(4) $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{81}$

(5) $32^x = 8$

(6) $16^{1-x} = (\frac{1}{64})^{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $2^x = 32$

$32$ を $2$ の累乗で表すと $32 = 2^5$ となるので、

$2^x = 2^5$

したがって、$x = 5$

(2) $81^x = \frac{1}{9}$

$81$ と $\frac{1}{9}$ を $3$ の累乗で表すと $81 = 3^4$、$\frac{1}{9} = 3^{-2}$ となるので、

$(3^4)^x = 3^{-2}$

$3^{4x} = 3^{-2}$

したがって、$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

(3) $25^x = 125^{x-1}$

$25$ と $125$ を $5$ の累乗で表すと $25 = 5^2$、 $125 = 5^3$ となるので、

$(5^2)^x = (5^3)^{x-1}$

$5^{2x} = 5^{3(x-1)}$

したがって、$2x = 3(x-1)$

$2x = 3x - 3$

$3 = 3x - 2x$

$x = 3$

(4) $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{81}$

$\frac{1}{81}$ を $\frac{1}{3}$ の累乗で表すと、$\frac{1}{81} = (\frac{1}{3})^4$ となるので、

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^4$

したがって、$x = 4$

(5) $32^x = 8$

$32$ と $8$ を $2$ の累乗で表すと $32 = 2^5$、 $8 = 2^3$ となるので、

$(2^5)^x = 2^3$

$2^{5x} = 2^3$

したがって、$5x = 3$

$x = \frac{3}{5}$

(6) $16^{1-x} = (\frac{1}{64})^{x+1}$

$16$ と $\frac{1}{64}$ を $4$ の累乗で表すと $16 = 4^2$、 $\frac{1}{64} = 4^{-3}$ となるので、

$(4^2)^{1-x} = (4^{-3})^{x+1}$

$4^{2(1-x)} = 4^{-3(x+1)}$

したがって、$2(1-x) = -3(x+1)$

$2 - 2x = -3x - 3$

$3x - 2x = -3 - 2$

$x = -5$

3. 最終的な答え

(1) $x = 5$

(2) $x = -\frac{1}{2}$

(3) $x = 3$

(4) $x = 4$

(5) $x = \frac{3}{5}$

(6) $x = -5$