ベクトル $\vec{a} = (1, k)$ と $\vec{b} = (-2, k+6)$ が平行になるような実数 $k$ の値を求める。

## 問17

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, k)$ と $\vec{b} = (-2, k+6)$ が平行になるような実数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、ある実数 $t$ が存在して、$\vec{b} = t\vec{a}$ と表せる。

つまり、

$(-2, k+6) = t(1, k) = (t, tk)$

したがって、以下の連立方程式が成り立つ。

$$t = -2$$

$$k+6 = tk$$

一つ目の式より $t = -2$ であるから、二つ目の式に代入すると、

$k+6 = -2k$

$3k = -6$

$k = -2$

3. 最終的な答え

$k = -2$

## 問18

1. 問題の内容

点 $A(1, 2)$, $B(3, 5)$, $C(-1, k)$, $D(k, 4)$ があるとき、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ が平行になるような実数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} = (3-1, 5-2) = (2, 3)$

$\overrightarrow{CD} = (k-(-1), 4-k) = (k+1, 4-k)$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{CD}$ が平行であるとき、ある実数 $t$ が存在して、$\overrightarrow{CD} = t\overrightarrow{AB}$ と表せる。

つまり、

$(k+1, 4-k) = t(2, 3) = (2t, 3t)$

したがって、以下の連立方程式が成り立つ。

$$k+1 = 2t$$

$$4-k = 3t$$

一つ目の式と二つ目の式を足し合わせると、

$k+1 + 4-k = 2t + 3t$

$5 = 5t$

$t = 1$

一つ目の式に $t = 1$ を代入すると、

$k+1 = 2(1) = 2$

$k = 1$

二つ目の式に $t = 1$ を代入すると、

$4-k = 3(1) = 3$

$k = 1$

3. 最終的な答え

$k = 1$