(1) ベクトル $\vec{a} = (3, 4)$ に垂直で、大きさが 5 のベクトル $\vec{p}$ を求める。 (2) ベクトル $\vec{a} = (2, -\sqrt{5})$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (3, 4)$ に垂直で、大きさが 5 のベクトル $\vec{p}$ を求める。

(2) ベクトル $\vec{a} = (2, -\sqrt{5})$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル $\vec{p}$ が $\vec{a}$ に垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{p} = 0$ が成り立つ。

$\vec{p} = (x, y)$ とすると、$3x + 4y = 0$ より、$y = -\frac{3}{4}x$ 。

したがって、$\vec{p} = (x, -\frac{3}{4}x)$ と表せる。

$\vec{p}$ の大きさは 5 であるから、$\sqrt{x^2 + (-\frac{3}{4}x)^2} = 5$ 。

$\sqrt{x^2 + \frac{9}{16}x^2} = 5$

$\sqrt{\frac{25}{16}x^2} = 5$

$\frac{5}{4}|x| = 5$

$|x| = 4$

$x = 4$ または $x = -4$

$x = 4$ のとき、$y = -\frac{3}{4} \times 4 = -3$ 。

$x = -4$ のとき、$y = -\frac{3}{4} \times (-4) = 3$ 。

したがって、$\vec{p} = (4, -3)$ または $\vec{p} = (-4, 3)$ 。

(2)

ベクトル $\vec{e}$ が $\vec{a}$ に垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{e} = 0$ が成り立つ。

$\vec{e} = (x, y)$ とすると、$2x - \sqrt{5}y = 0$ より、$2x = \sqrt{5}y$ 、すなわち $y = \frac{2}{\sqrt{5}}x$ 。

したがって、$\vec{e} = (x, \frac{2}{\sqrt{5}}x)$ と表せる。

$\vec{e}$ は単位ベクトルであるから、$\sqrt{x^2 + (\frac{2}{\sqrt{5}}x)^2} = 1$ 。

$\sqrt{x^2 + \frac{4}{5}x^2} = 1$

$\sqrt{\frac{9}{5}x^2} = 1$

$\frac{3}{\sqrt{5}}|x| = 1$

$|x| = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ または $x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$y = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2}{3}$ 。

$x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$y = \frac{2}{\sqrt{5}} \times (-\frac{\sqrt{5}}{3}) = -\frac{2}{3}$ 。

したがって、$\vec{e} = (\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{2}{3})$ または $\vec{e} = (-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{2}{3})$ 。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = (4, -3), (-4, 3)$

(2) $\vec{e} = (\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{2}{3}), (-\frac{\sqrt{5}}{3}, -\frac{2}{3})$