平面ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ との内積を対応させる写像が線形写像であることを示し、その写像を表す行列を求める。

## 問題1

1. 問題の内容

平面ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ との内積を対応させる写像が線形写像であることを示し、その写像を表す行列を求める。

2. 解き方の手順

内積写像 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}$ は線形写像である。なぜなら、任意のベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ とスカラー $c$ に対して、

$f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{y} = f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y})$

$f(c\mathbf{x}) = \mathbf{a} \cdot (c\mathbf{x}) = c(\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}) = cf(\mathbf{x})$

が成り立つからである。

この線形写像を表す行列を $A$ とすると、

$f(\mathbf{x}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 3x + 4y = \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A\mathbf{x}$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$ である。

3. 最終的な答え

求める行列は $\begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$ である。

## 問題2

1. 問題の内容

空間ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ に対して、ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ との外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{x}$ を対応させる写像が線形写像であることを示し、その写像を表す行列を求める。さらに、$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{a} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{x})$ も線形写像であることを示し、その写像を表す行列を求める。

2. 解き方の手順

外積写像 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{a} \times \mathbf{x}$ は線形写像である。なぜなら、外積は線形性を持つからである。

$f(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = \mathbf{a}\times (\mathbf{x}+\mathbf{y}) = \mathbf{a}\times \mathbf{x} + \mathbf{a}\times \mathbf{y} = f(\mathbf{x}) + f(\mathbf{y})$

$f(c\mathbf{x}) = \mathbf{a}\times (c\mathbf{x}) = c(\mathbf{a}\times \mathbf{x}) = cf(\mathbf{x})$

$\mathbf{a} \times \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z+2y \\ -2x-2z \\ 2y-x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0x + 2y + z \\ -2x + 0y -2z \\ -x + 2y + 0z \end{pmatrix} = A\mathbf{x}$

したがって、$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ である。

次に、$\mathbf{a} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{x})$ を求める。

$\mathbf{a} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{x}) = \mathbf{a} \times \begin{pmatrix} z+2y \\ -2x-2z \\ 2y-x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} z+2y \\ -2x-2z \\ 2y-x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2y-x) - (-2)( -2x -2z) \\ (-2)(z+2y) - 2(2y-x) \\ 2(-2x-2z) - (z+2y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5x + 2y -4z \\ 2x - 8y -2z \\ -4x -2y -5z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5x + 2y - 4z \\ 2x - 8y - 2z \\ -4x - 2y - 5z \end{pmatrix} = B\mathbf{x}$

したがって、$B = \begin{pmatrix} -5 & 2 & -4 \\ 2 & -8 & -2 \\ -4 & -2 & -5 \end{pmatrix}$ である。

3. 最終的な答え

$\mathbf{a} \times \mathbf{x}$ を表す行列は $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ である。

$\mathbf{a} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{x})$ を表す行列は $\begin{pmatrix} -5 & 2 & -4 \\ 2 & -8 & -2 \\ -4 & -2 & -5 \end{pmatrix}$ である。

## 問題3

1. 問題の内容

空間内に、長さが等しく直交する2つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ があるとする。$\mathbf{a}$ を $\mathbf{b}$ の方に $\theta$ 回転したベクトルを $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \theta$ で表す。

2. 解き方の手順

$\mathbf{a}$ を $\mathbf{b}$ の方向に $\theta$ 回転したベクトルを $\mathbf{a'}$ とする。$\mathbf{a}$ と $\mathbf{a'}$ は同じ長さを持つ。$\mathbf{a'}$ は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の線形結合で表せる。

$\mathbf{a'} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}$

$\mathbf{a'} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}| |\mathbf{a'}| \cos \theta = |\mathbf{a}|^2 \cos \theta$

$\mathbf{a'} \cdot \mathbf{a} = (\alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} = \alpha (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}) + \beta (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) = \alpha |\mathbf{a}|^2$

したがって、$\alpha = \cos \theta$ である。

また、ベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{a'}$ は同一平面上に存在し、 $\mathbf{a}$ を $\mathbf{b}$ の方向に $\theta$ 回転させたものが $\mathbf{a'}$ なので、 $\beta = \sin \theta$ となる。

$\mathbf{a'} = \cos\theta \mathbf{a} + \sin\theta \mathbf{b}$

3. 最終的な答え

$\mathbf{a}$ を $\mathbf{b}$ の方に $\theta$ 回転したベクトルは $\cos\theta \mathbf{a} + \sin\theta \mathbf{b}$ と表される。

## 問題4

1. 問題の内容

単位ベクトル $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ を回転軸とする $\theta$ 回転を表す行列を求める。

2. 解き方の手順

ロドリゲスの回転公式を用いる。

$\mathbf{v'} = \cos(\theta) \mathbf{v} + \sin(\theta) (\mathbf{n} \times \mathbf{v}) + (1-\cos(\theta)) (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})\mathbf{n}$

回転行列 $R$ を求める。

$\mathbf{v'} = R\mathbf{v}$

$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

$\mathbf{n} \times \mathbf{v} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_2 z - n_3 y \\ n_3 x - n_1 z \\ n_1 y - n_2 x \end{pmatrix}$

$\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = n_1 x + n_2 y + n_3 z$

$\mathbf{v'} = \cos(\theta) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + \sin(\theta) \begin{pmatrix} n_2 z - n_3 y \\ n_3 x - n_1 z \\ n_1 y - n_2 x \end{pmatrix} + (1-\cos(\theta))(n_1 x + n_2 y + n_3 z)\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) x + \sin(\theta) (n_2 z - n_3 y) + (1-\cos(\theta))(n_1 x + n_2 y + n_3 z)n_1 \\ \cos(\theta) y + \sin(\theta) (n_3 x - n_1 z) + (1-\cos(\theta))(n_1 x + n_2 y + n_3 z)n_2 \\ \cos(\theta) z + \sin(\theta) (n_1 y - n_2 x) + (1-\cos(\theta))(n_1 x + n_2 y + n_3 z)n_3 \end{pmatrix}$

$R = \begin{pmatrix} \cos\theta + (1-\cos\theta)n_1^2 & (1-\cos\theta)n_1n_2 - \sin\theta n_3 & (1-\cos\theta)n_1n_3 + \sin\theta n_2 \\ (1-\cos\theta)n_1n_2 + \sin\theta n_3 & \cos\theta + (1-\cos\theta)n_2^2 & (1-\cos\theta)n_2n_3 - \sin\theta n_1 \\ (1-\cos\theta)n_1n_3 - \sin\theta n_2 & (1-\cos\theta)n_2n_3 + \sin\theta n_1 & \cos\theta + (1-\cos\theta)n_3^2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

回転行列は

$R = \begin{pmatrix} \cos\theta + (1-\cos\theta)n_1^2 & (1-\cos\theta)n_1n_2 - \sin\theta n_3 & (1-\cos\theta)n_1n_3 + \sin\theta n_2 \\ (1-\cos\theta)n_1n_2 + \sin\theta n_3 & \cos\theta + (1-\cos\theta)n_2^2 & (1-\cos\theta)n_2n_3 - \sin\theta n_1 \\ (1-\cos\theta)n_1n_3 - \sin\theta n_2 & (1-\cos\theta)n_2n_3 + \sin\theta n_1 & \cos\theta + (1-\cos\theta)n_3^2 \end{pmatrix}$