$x$の2次方程式 $x^2 + kx + k + 3 = 0$ が重解をもつような定数$k$の値と、そのときの重解を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$の2次方程式 $x^2 + kx + k + 3 = 0$ が重解をもつような定数$k$の値と、そのときの重解を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つためには、判別式$D$が0になる必要があります。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

今回の2次方程式 $x^2 + kx + k + 3 = 0$ において、$a = 1$, $b = k$, $c = k + 3$ ですから、判別式$D$は次のようになります。

$D = k^2 - 4(1)(k + 3)$

$D = k^2 - 4k - 12$

重解を持つためには $D = 0$ となる必要があります。

$k^2 - 4k - 12 = 0$

この式を因数分解すると、

$(k - 6)(k + 2) = 0$

したがって、$k = 6$ または $k = -2$ となります。

(i) $k = 6$ のとき

2次方程式は $x^2 + 6x + 6 + 3 = 0$ となり、$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x + 3)^2 = 0$

よって、$x = -3$

(ii) $k = -2$ のとき

2次方程式は $x^2 - 2x - 2 + 3 = 0$ となり、$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

よって、$x = 1$

3. 最終的な答え

$k = 6$ のとき、重解は $x = -3$

$k = -2$ のとき、重解は $x = 1$