2次関数 $f(x) = a(x-1)^2 + b$ があり、 $a, b$ は定数で、$a > 0$ とする。$0 \leq x \leq 3$ における $f(x)$ の最大値が 2、最小値が -6 であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = a(x-1)^2 + b$ があり、 $a, b$ は定数で、$a > 0$ とする。$0 \leq x \leq 3$ における $f(x)$ の最大値が 2、最小値が -6 であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = a(x-1)^2 + b$ は $x=1$ で最小値 $b$ をとる。$a > 0$ より、このグラフは下に凸の放物線である。

定義域 $0 \leq x \leq 3$ において、軸 $x=1$ はこの区間内にある。

最小値は $f(1) = a(1-1)^2 + b = b$ であり、これが -6 に等しいから、

$b = -6$

最大値は、$x=0$ または $x=3$ のいずれかでとる。

$f(0) = a(0-1)^2 + b = a + b$

$f(3) = a(3-1)^2 + b = 4a + b$

$a > 0$ より、$4a + b > a + b$ なので、$x=3$ で最大値をとる。したがって、

$f(3) = 4a + b = 2$

$b = -6$ を代入すると、

$4a - 6 = 2$

$4a = 8$

$a = 2$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -6$