関数 $y = -x^2 + 2x + c$ ($0 \le x \le 3$) の最小値が -5 であるとき、$c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2x + c$ ($0 \le x \le 3$) の最小値が -5 であるとき、$c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = -x^2 + 2x + c$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2x) + c$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + c$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + c$

これは、頂点が $(1, 1+c)$ で、上に凸な放物線です。

定義域は $0 \le x \le 3$ です。軸 $x = 1$ はこの定義域に含まれています。

$x = 1$ のとき、$y = 1 + c$ となり、これが最大値です。

$x = 0$ のとき、$y = -0^2 + 2(0) + c = c$

$x = 3$ のとき、$y = -3^2 + 2(3) + c = -9 + 6 + c = -3 + c$

$c$ と $-3 + c$ を比較すると、$-3 + c < c$ なので、$x = 3$ のとき最小値を取ります。

最小値が -5 であるという条件より、

$-3 + c = -5$

$c = -5 + 3$

$c = -2$

3. 最終的な答え

$c = -2$