関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値が7であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4x + c$ の $-2 \le x \le 1$ における最大値が7であるとき、定数 $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4x + c = 2(x^2 + 2x) + c = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + c = 2((x+1)^2 - 1) + c = 2(x+1)^2 - 2 + c$

よって、 $y = 2(x+1)^2 - 2 + c$ となります。

この関数のグラフは、軸が $x = -1$ の下に凸な放物線です。定義域 $-2 \le x \le 1$ 内に軸 $x = -1$ が含まれているため、頂点 $x=-1$ で最小値をとり、定義域の端点で最大値を取る可能性があります。

定義域の端点 $x=-2$ のとき、 $y = 2(-2+1)^2 - 2 + c = 2(1) - 2 + c = c$

定義域の端点 $x=1$ のとき、 $y = 2(1+1)^2 - 2 + c = 2(4) - 2 + c = 6 + c$

$x=1$ のときの$y$の値が$x=-2$のときの$y$の値よりも大きいので、最大値は $x=1$ のときに取ります。

したがって、$6 + c = 7$ となるので、$c = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$c=1$