与えられた複素数の計算問題を解く。具体的には、複素数の足し算、引き算、掛け算、割り算、2乗の計算を行う。

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算問題を解く。具体的には、複素数の足し算、引き算、掛け算、割り算、2乗の計算を行う。

2. 解き方の手順

(1) $(4+2i)+(3+i)$

実部と虚部をそれぞれ足し合わせる。

$4+3 = 7$

$2i + i = 3i$

したがって、$(4+2i)+(3+i) = 7 + 3i$

(2) $(3-2i)-(2-i)$

実部と虚部をそれぞれ引き算する。

$3-2 = 1$

$-2i - (-i) = -2i + i = -i$

したがって、$(3-2i)-(2-i) = 1-i$

(3) $(1-2i)(5+2i)$

分配法則を用いて計算する。

$(1-2i)(5+2i) = 1*5 + 1*2i - 2i*5 - 2i*2i$

$= 5 + 2i - 10i - 4i^2$

$i^2 = -1$なので、

$= 5 + 2i - 10i + 4$

$= 9 - 8i$

したがって、$(1-2i)(5+2i) = 9-8i$

(4) $(3-2i)^2$

展開する。

$(3-2i)^2 = (3-2i)(3-2i)$

$= 3*3 + 3*(-2i) - 2i*3 - 2i*(-2i)$

$= 9 - 6i - 6i + 4i^2$

$i^2 = -1$なので、

$= 9 - 12i - 4$

$= 5 - 12i$

したがって、$(3-2i)^2 = 5-12i$

(5) $(2-i)(2+i)$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を使う。

$(2-i)(2+i) = 2^2 - i^2$

$= 4 - (-1)$

$= 4+1$

$= 5$

したがって、$(2-i)(2+i) = 5$

(6) $\frac{3+i}{1+2i}$

分母の共役複素数 $1-2i$ を分子と分母にかける。

$\frac{3+i}{1+2i} = \frac{(3+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

分子を計算する。

$(3+i)(1-2i) = 3 - 6i + i - 2i^2$

$= 3 - 5i + 2$

$= 5 - 5i$

分母を計算する。

$(1+2i)(1-2i) = 1^2 - (2i)^2$

$= 1 - 4i^2$

$= 1 + 4$

$= 5$

$\frac{5-5i}{5} = 1-i$

したがって、$\frac{3+i}{1+2i} = 1-i$

(7) $\frac{2-i}{2+i}$

分母の共役複素数 $2-i$ を分子と分母にかける。

$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$

分子を計算する。

$(2-i)(2-i) = (2-i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3-4i$

分母を計算する。

$(2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$

したがって、$\frac{2-i}{2+i} = \frac{3-4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(8) $\frac{4-5i}{i}$

分母の共役複素数 $-i$ を分子と分母にかける。

$\frac{4-5i}{i} = \frac{(4-5i)(-i)}{i(-i)}$

$= \frac{-4i+5i^2}{-i^2}$

$= \frac{-4i-5}{1}$

$= -5-4i$

したがって、$\frac{4-5i}{i} = -5-4i$

3. 最終的な答え

(1) $7+3i$

(2) $1-i$

(3) $9-8i$

(4) $5-12i$

(5) $5$

(6) $1-i$

(7) $\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$

(8) $-5-4i$