$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 6x + 6$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = x^2 - 6x + 6$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 6x + 6 = (x - 3)^2 - 9 + 6 = (x - 3)^2 - 3$

この関数は、頂点が $(3, -3)$ で、下に凸な放物線です。

定義域 $0 \le x \le a$ における最小値を求めるために、$a$ の値によって場合分けを行います。

(i) $0 < a < 3$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、関数は単調減少です。したがって、$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = a^2 - 6a + 6$

(ii) $a = 3$ のとき

定義域 $0 \le x \le 3$ において、$x = 3$ で最小値をとります。

最小値は $y = -3$

(iii) $a > 3$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、$x = 3$ で最小値をとります。

最小値は $y = -3$

まとめると、

$0 < a < 3$ のとき、最小値は $a^2 - 6a + 6$

$a \ge 3$ のとき、最小値は $-3$

3. 最終的な答え

$0 < a < 3$ のとき、$a^2 - 6a + 6$

$a \ge 3$ のとき、$-3$