(1) 方程式 $ |3x+2| = x+1 $ を解く。 (2) 関数 $ y = -x^2 + 2ax $ (ただし、 $-1 \le x \le 1$) の最大値を求める。ただし、$a$ は正の定数とする。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $|3x+2| = x+1$ を解く。

(2) 関数 $y = -x^2 + 2ax$ (ただし、 $-1 \le x \le 1$) の最大値を求める。ただし、$a$ は正の定数とする。

2. 解き方の手順

(1) 絶対値を含む方程式を解く。

絶対値の定義より、

$|3x+2| = \begin{cases} 3x+2 & (3x+2 \ge 0 \iff x \ge -\frac{2}{3}) \\ -(3x+2) & (3x+2 < 0 \iff x < -\frac{2}{3}) \end{cases}$

(i) $x \ge -\frac{2}{3}$ のとき、

$3x+2 = x+1$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

これは、$x \ge -\frac{2}{3}$ を満たす。

(ii) $x < -\frac{2}{3}$ のとき、

$-(3x+2) = x+1$

$-3x-2 = x+1$

$-4x = 3$

$x = -\frac{3}{4}$

これは、$x < -\frac{2}{3}$ を満たす。

したがって、方程式の解は $x = -\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}$ である。

(2) 2次関数の最大値を求める。

$y = -x^2 + 2ax = -(x^2 - 2ax) = -(x-a)^2 + a^2$

このグラフは、頂点が $(a, a^2)$ の上に凸な放物線である。

定義域は $-1 \le x \le 1$ である。

(i) $a < -1$ のとき、最大値は $x=-1$ のときにとる。

$y(-1) = -(-1)^2 + 2a(-1) = -1 - 2a$

(ii) $-1 \le a \le 1$ のとき、最大値は $x=a$ のときにとる。

$y(a) = a^2$

(iii) $1 < a$ のとき、最大値は $x=1$ のときにとる。

$y(1) = -1^2 + 2a(1) = -1 + 2a$

$a$ は正の定数なので、$a>0$。したがって、(i)は起こらない。

したがって、(ii) $0 < a \le 1$ のとき、最大値は $a^2$

(iii) $1 < a$ のとき、最大値は $2a-1$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}$

(2)

$0 < a \le 1$ のとき、最大値 $a^2$

$1 < a$ のとき、最大値 $2a - 1$