二次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とします。 (1) $k$ を $m$ の式で表してください。 (2) $k = -4$ であるとき、$m$ の値を求めてください。 (3) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めてください。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順を追って回答します。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ の最小値を $k$ とします。

(1) $k$ を $m$ の式で表してください。

(2) $k = -4$ であるとき、$m$ の値を求めてください。

(3) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $k$ を $m$ の式で表す。

二次関数 $y = x^2 + 2mx + 3m$ を平方完成します。

$y = (x+m)^2 - m^2 + 3m$

最小値 $k$ は $k = -m^2 + 3m$ となります。

(2) $k = -4$ であるとき、$m$ の値を求める。

$k = -m^2 + 3m$ に $k = -4$ を代入します。

$-4 = -m^2 + 3m$

$m^2 - 3m - 4 = 0$

$(m-4)(m+1) = 0$

$m = 4, -1$

(3) $k$ の値を最大にする $m$ の値と、$k$ の最大値を求める。

$k = -m^2 + 3m$ を平方完成します。

$k = -(m^2 - 3m)$

$k = -(m^2 - 3m + (3/2)^2) + (3/2)^2$

$k = -(m - 3/2)^2 + 9/4$

$m = 3/2$ のとき、$k$ は最大値 $9/4$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $k = -m^2 + 3m$

(2) $m = 4, -1$

(3) $m = \frac{3}{2}$ のとき、kの最大値は $\frac{9}{4}$