問題74では、二項定理または多項定理を用いて、多項式の展開式における特定の項の係数を求める問題が出題されています。 (1) $(x-2)^{11}$ の展開式における $x^2$ の係数と $x^3$ の係数を求めます。 (2) $(x^3 - 2y)^8$ の展開式における $x^9 y^5$ の係数を求めます。 (3) $(x + 2y + 3z)^6$ の展開式における $x^4 y^2$ の係数と $x^3 y^2 z$ の係数を求めます。

1. 問題の内容

問題74では、二項定理または多項定理を用いて、多項式の展開式における特定の項の係数を求める問題が出題されています。

(1) $(x-2)^{11}$ の展開式における $x^2$ の係数と $x^3$ の係数を求めます。

(2) $(x^3 - 2y)^8$ の展開式における $x^9 y^5$ の係数を求めます。

(3) $(x + 2y + 3z)^6$ の展開式における $x^4 y^2$ の係数と $x^3 y^2 z$ の係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を使います。

$(x-2)^{11} = \sum_{k=0}^{11} {}_{11}C_k x^{11-k} (-2)^k$

$x^2$ の係数を求めるには、$11-k=2$ となる $k$ を求めます。$k = 9$ なので、$x^2$ の係数は ${}_{11}C_9 (-2)^9 = {}_{11}C_2 (-2)^9 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} \times (-512) = 55 \times (-512) = -28160$

$x^3$ の係数を求めるには、$11-k=3$ となる $k$ を求めます。$k = 8$ なので、$x^3$ の係数は ${}_{11}C_8 (-2)^8 = {}_{11}C_3 (-2)^8 = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} \times 256 = 165 \times 256 = 42240$

(2) 二項定理を使います。

$(x^3 - 2y)^8 = \sum_{k=0}^{8} {}_{8}C_k (x^3)^{8-k} (-2y)^k = \sum_{k=0}^{8} {}_{8}C_k x^{24-3k} (-2)^k y^k$

$x^9 y^5$ の係数を求めるには、$24-3k=9$ かつ $k=5$ となる $k$ を探します。$k=5$ は条件を満たします。

したがって、$x^9 y^5$ の係数は ${}_{8}C_5 (-2)^5 = {}_{8}C_3 (-32) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times (-32) = 56 \times (-32) = -1792$

(3) 多項定理を使います。

$(x + 2y + 3z)^6 = \sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} x^p (2y)^q (3z)^r = \sum_{p+q+r=6} \frac{6!}{p!q!r!} 2^q 3^r x^p y^q z^r$

$x^4 y^2$ の係数を求めるには、$p=4, q=2, r=0$ となる $p, q, r$ を探します。この条件を満たします。

したがって、$x^4 y^2$ の係数は $\frac{6!}{4!2!0!} 2^2 3^0 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 4 \times 1 = 15 \times 4 = 60$

$x^3 y^2 z$ の係数を求めるには、$p=3, q=2, r=1$ となる $p, q, r$ を探します。この条件を満たします。

したがって、$x^3 y^2 z$ の係数は $\frac{6!}{3!2!1!} 2^2 3^1 = \frac{6 \times 5 \times 4}{2 \times 1} \times 4 \times 3 = 60 \times 12 = 720$

3. 最終的な答え

(1) $x^2$ の係数: -28160

$x^3$ の係数: 42240

(2) $x^9 y^5$ の係数: -1792

(3) $x^4 y^2$ の係数: 60

$x^3 y^2 z$ の係数: 720