与えられた5つの式をそれぞれ計算し、最も簡単な形に変形する問題です。 (1) $\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2}$ (2) $\frac{3}{x(3-x)} + \frac{x}{3(x-3)}$ (3) $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b}$ (4) $\frac{2x-1}{x^2-x-6} - \frac{2x+1}{x^2+x-12}$ (5) $\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$

1. 問題の内容

与えられた5つの式をそれぞれ計算し、最も簡単な形に変形する問題です。

(1) $\frac{x^2+4}{x-2} - \frac{4x}{x-2}$

(2) $\frac{3}{x(3-x)} + \frac{x}{3(x-3)}$

(3) $\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b}$

(4) $\frac{2x-1}{x^2-x-6} - \frac{2x+1}{x^2+x-12}$

(5) $\frac{x-2}{2x^2-5x+3} + \frac{3x-1}{2x^2+x-6} + \frac{2x-5}{x^2+x-2}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が共通なので、分子を計算します。

$\frac{x^2+4-4x}{x-2} = \frac{x^2-4x+4}{x-2} = \frac{(x-2)^2}{x-2} = x-2$

(2) 分母を揃えるために、$\frac{3}{x(3-x)}$を$\frac{-3}{x(x-3)}$と変形します。

$\frac{x}{3(x-3)} - \frac{3}{x(x-3)} = \frac{x^2}{3x(x-3)} - \frac{9}{3x(x-3)} = \frac{x^2-9}{3x(x-3)} = \frac{(x+3)(x-3)}{3x(x-3)} = \frac{x+3}{3x}$

(3) 通分して計算します。

$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} = \frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{b(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

(4) 分母を因数分解します。

$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$

$x^2+x-12 = (x+4)(x-3)$

$\frac{2x-1}{(x-3)(x+2)} - \frac{2x+1}{(x+4)(x-3)} = \frac{(2x-1)(x+4)}{(x-3)(x+2)(x+4)} - \frac{(2x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)(x+4)} = \frac{2x^2+8x-x-4-(2x^2+4x+x+2)}{(x-3)(x+2)(x+4)} = \frac{2x^2+7x-4-2x^2-5x-2}{(x-3)(x+2)(x+4)} = \frac{2x-6}{(x-3)(x+2)(x+4)} = \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+2)(x+4)} = \frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{2}{x^2+6x+8}$

(5) 分母を因数分解します。

$2x^2-5x+3 = (2x-3)(x-1)$

$2x^2+x-6 = (2x-3)(x+2)$

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

$\frac{x-2}{(2x-3)(x-1)} + \frac{3x-1}{(2x-3)(x+2)} + \frac{2x-5}{(x+2)(x-1)} = \frac{(x-2)(x+2)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} + \frac{(3x-1)(x-1)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} + \frac{(2x-5)(2x-3)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} = \frac{x^2-4+3x^2-4x+1+4x^2-16x+15}{(2x-3)(x-1)(x+2)} = \frac{8x^2-20x+12}{(2x-3)(x-1)(x+2)} = \frac{4(2x^2-5x+3)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} = \frac{4(2x-3)(x-1)}{(2x-3)(x-1)(x+2)} = \frac{4}{x+2}$

3. 最終的な答え

(1) $x-2$

(2) $\frac{x+3}{3x}$

(3) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

(4) $\frac{2}{x^2+6x+8}$

(5) $\frac{4}{x+2}$