(5) $\frac{x^2 - 9}{x+2} \div (x^2 - x - 6)$ (6) $\frac{6x^2 - 7x - 20}{x^2 - 4} \times \frac{x^2 - x - 2}{6x^2 - 15x} \div \frac{3x^2 + 7x + 4}{x^2 + 2x}$ 上記2つの式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で表す。

1. 問題の内容

(5) $\frac{x^2 - 9}{x+2} \div (x^2 - x - 6)$

(6) $\frac{6x^2 - 7x - 20}{x^2 - 4} \times \frac{x^2 - x - 2}{6x^2 - 15x} \div \frac{3x^2 + 7x + 4}{x^2 + 2x}$

上記2つの式をそれぞれ計算し、最も簡単な形で表す。

2. 解き方の手順

(5)

まず、割算を掛け算に変換します。

$\frac{x^2 - 9}{x+2} \div (x^2 - x - 6) = \frac{x^2 - 9}{x+2} \times \frac{1}{x^2 - x - 6}$

次に、各項を因数分解します。

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

与式に代入します。

$\frac{(x-3)(x+3)}{x+2} \times \frac{1}{(x-3)(x+2)} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x-3)(x+2)}$

共通因数を約分します。

$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x-3)(x+2)} = \frac{x+3}{(x+2)^2}$

(6)

まず、割算を掛け算に変換します。

$\frac{6x^2 - 7x - 20}{x^2 - 4} \times \frac{x^2 - x - 2}{6x^2 - 15x} \div \frac{3x^2 + 7x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{6x^2 - 7x - 20}{x^2 - 4} \times \frac{x^2 - x - 2}{6x^2 - 15x} \times \frac{x^2 + 2x}{3x^2 + 7x + 4}$

次に、各項を因数分解します。

$6x^2 - 7x - 20 = (2x-5)(3x+4)$

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

$6x^2 - 15x = 3x(2x-5)$

$x^2 + 2x = x(x+2)$

$3x^2 + 7x + 4 = (3x+4)(x+1)$

与式に代入します。

$\frac{(2x-5)(3x+4)}{(x-2)(x+2)} \times \frac{(x-2)(x+1)}{3x(2x-5)} \times \frac{x(x+2)}{(3x+4)(x+1)} = \frac{(2x-5)(3x+4)(x-2)(x+1)x(x+2)}{(x-2)(x+2)3x(2x-5)(3x+4)(x+1)}$

共通因数を約分します。

$\frac{(2x-5)(3x+4)(x-2)(x+1)x(x+2)}{(x-2)(x+2)3x(2x-5)(3x+4)(x+1)} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{x+3}{(x+2)^2}$

(6) $\frac{1}{3}$