不等式 $|a| + 3|b| \geq |a+3b|$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $|a| + 3|b| \geq |a+3b|$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

不等式の証明には、両辺を2乗して差をとる方法が有効である。絶対値記号を扱う場合、2乗することで絶対値を外すことができる。

まず、両辺を2乗する。

$$(|a| + 3|b|)^2 \geq |a+3b|^2$$

左辺を展開する。

$$(|a| + 3|b|)^2 = |a|^2 + 6|a||b| + 9|b|^2 = a^2 + 6|ab| + 9b^2$$

右辺を展開する。

$$|a+3b|^2 = (a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2$$

左辺から右辺を引く。

$$(a^2 + 6|ab| + 9b^2) - (a^2 + 6ab + 9b^2) = 6|ab| - 6ab = 6(|ab| - ab)$$

ここで、$|ab| \geq ab$ であるから、$|ab| - ab \geq 0$ となる。

したがって、$6(|ab| - ab) \geq 0$ が成り立つ。

これにより、$(|a| + 3|b|)^2 - |a+3b|^2 \geq 0$ が示されたので、$|a| + 3|b| \geq |a+3b|$ が証明された。

等号が成り立つ条件を求める。

等号が成り立つのは、$|ab| = ab$ のときである。

これは、$ab \geq 0$ を意味する。

3. 最終的な答え

不等式 $|a| + 3|b| \geq |a+3b|$ は証明された。

等号が成り立つのは、$ab \geq 0$ のときである。