与えられた多項式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解する。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、以下の問題について回答します。

問題: $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理する。

$2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

次に、定数項の $-2y^2 + 5y - 3$ を因数分解する。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y - 3)(y - 1)$

したがって、$2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3) = 2x^2 + (-3y + 5)x - (2y - 3)(y - 1)$

上記の式を因数分解できると仮定して、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形になると考えます。

$2x^2$ の係数から、$a = 2$, $d = 1$ と置きます。

$x^2$の係数から $ad = 2$

$y^2$の係数から $be = -2$

定数項から $cf = -3$

$(2x + Ay + B)(x + Cy + D)$ とおくと、

$2x^2 + (2C + A)xy + ACy^2 + (2D + B)x + (AD + BC)y + BD$

これが $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ に等しいので、係数を比較すると、

$2C + A = -3$

$AC = -2$

$2D + B = 5$

$AD + BC = 5$

$BD = -3$

$AC = -2$ より、$A = 2, C = -1$ または $A = -2, C = 1$ が考えられる。

$2C + A = -3$ を満たすのは $A = -2, C = 1$ なので、採用する。

$A = -2, C = 1$ を代入すると

$2x - 2y + B)(x + y + D)$

$BD = -3$

$-2D + B = 5$

$D= 1, B = -3$ を代入すると、

$-2(1) + (-3) = -5$となり、不適。

$D= -1, B = 3$ を代入すると、

$-2(-1) + (3) = 5$ となり、適する。

よって、 $(2x - 2y + 3)(x + y - 1)$

展開すると $2x^2 + 2xy - 2x - 2xy - 2y^2 + 2y + 3x + 3y - 3 = 2x^2 - 2y^2 + x + 5y - 3$となり一致しないので、どこかで間違えた可能性があります。

別の方法を試します。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 = (2x+y)(x-2y)$

定数項は$3$なので、

$(2x+y+a)(x-2y+b) = 2x^2-3xy-2y^2+(a+2b)x+(b-2a)y+ab$

係数比較

$a+2b=5$

$b-2a=5$

$ab=-3$

これらを解くと、$a=-1,b=3$ よって、

$(2x+y-1)(x-2y+3)$

展開すると$2x^2-3xy-2y^2+5x+5y-3$

3. 最終的な答え

$(2x+y-1)(x-2y+3)$