与えられた2次方程式 $x^2 + mx - m + 3 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 判別式 $D$ を $m$ の式で表します。 (2) 与えられた2次方程式が重解を持つように、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 + mx - m + 3 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 判別式 $D$ を $m$ の式で表します。

(2) 与えられた2次方程式が重解を持つように、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

与えられた2次方程式 $x^2 + mx - m + 3 = 0$ では、$a = 1, b = m, c = -m + 3$ なので、判別式 $D$ は次のようになります。

$D = m^2 - 4(1)(-m+3)$

$D = m^2 + 4m - 12$

(2) 2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

したがって、$m^2 + 4m - 12 = 0$ を解きます。

$(m+6)(m-2) = 0$

$m = -6, 2$

次に、それぞれの $m$ の値に対して重解を求めます。

i) $m = -6$ のとき、2次方程式は $x^2 - 6x + 9 = 0$ となり、これは $(x-3)^2 = 0$ と変形できます。したがって、重解は $x = 3$ です。

ii) $m = 2$ のとき、2次方程式は $x^2 + 2x + 1 = 0$ となり、これは $(x+1)^2 = 0$ と変形できます。したがって、重解は $x = -1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $D = m^2 + 4m - 12$

(2) $m = -6$ のとき、重解は $x = 3$

　 $m = 2$ のとき、重解は $x = -1$