$n \times n$ 行列 $A$ が与えられています。この行列は、対角成分が $a+b$ であり、それ以外の成分が $a$ であるような行列です。この行列の行列式 $\det(A)$ が $b^{n-1}(na+b)$ に等しいことを証明する必要があります。

1. 問題の内容

$n \times n$ 行列 $A$ が与えられています。この行列は、対角成分が $a+b$ であり、それ以外の成分が $a$ であるような行列です。この行列の行列式 $\det(A)$ が $b^{n-1}(na+b)$ に等しいことを証明する必要があります。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を以下のように書き下します。

$$$$

A = \begin{bmatrix}

a+b & a & a & \cdots & a \\

a & a+b & a & \cdots & a \\

a & a & a+b & \cdots & a \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a & a & a & \cdots & a+b

\end{bmatrix}

$$$$

以下の操作を行います。

1. 第2行から第1行を引く、第3行から第1行を引く、…、第$n$行から第1行を引きます。すると、以下の行列を得ます。

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A' = \begin{bmatrix}

a+b & a & a & \cdots & a \\

-b & b & 0 & \cdots & 0 \\

-b & 0 & b & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

-b & 0 & 0 & \cdots & b

\end{bmatrix}

$$$$

2. 次に、第2列、第3列、…、第$n$列を第1列に加えます。すると、以下の行列を得ます。

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A'' = \begin{bmatrix}

na+b & a & a & \cdots & a \\

0 & b & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 0 & b & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & b

\end{bmatrix}

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行列 $A''$ は上三角行列であり、その行列式は対角成分の積に等しくなります。したがって、

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\det(A) = \det(A'') = (na+b)b^{n-1}

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3. 最終的な答え

$\det(A) = b^{n-1}(na+b)$