$a, b$ が実数のとき、3次方程式 $x^3 + ax^2 + 8x + b = 0$ が $x = 1 + i$ を解にもつように、$a, b$ の値を求めたい。

1. 問題の内容

$a, b$ が実数のとき、3次方程式 $x^3 + ax^2 + 8x + b = 0$ が $x = 1 + i$ を解にもつように、$a, b$ の値を求めたい。

2. 解き方の手順

まず、$x = 1 + i$ を方程式に代入します。

$(1+i)^3 + a(1+i)^2 + 8(1+i) + b = 0$

次に、$(1+i)^2$ と $(1+i)^3$ を計算します。

$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

$(1+i)^3 = (1+i)(1+i)^2 = (1+i)(2i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$

これらを代入します。

$(-2 + 2i) + a(2i) + 8(1+i) + b = 0$

実部と虚部に分けます。

$(-2 + 8 + b) + (2 + 2a + 8)i = 0$

$(6 + b) + (10 + 2a)i = 0$

$a, b$ は実数なので、実部と虚部がそれぞれ0になる必要があります。

$6 + b = 0$

$10 + 2a = 0$

これらの式から、$a$ と $b$ を求めます。

$b = -6$

$2a = -10$

$a = -5$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = -6$