与えられたベクトル $\vec{a} = (1, 2)$、$\vec{b} = (3, 7)$、$\vec{c} = (4, 6)$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す。 (2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表す。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a} = (1, 2)$、$\vec{b} = (3, 7)$、$\vec{c} = (4, 6)$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す。

(2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表すには、実数 $s, t$ を用いて

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$

と表す。すなわち、

$(4, 6) = s(1, 2) + t(3, 7)$

$(4, 6) = (s + 3t, 2s + 7t)$

よって、以下の連立方程式を得る。

$s + 3t = 4$

$2s + 7t = 6$

一つ目の式を2倍し、二つ目の式から引くと、

$2(s + 3t) - (2s + 7t) = 2(4) - 6$

$2s + 6t - 2s - 7t = 8 - 6$

$-t = 2$

$t = -2$

これを $s + 3t = 4$ に代入すると、

$s + 3(-2) = 4$

$s - 6 = 4$

$s = 10$

したがって、$\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a}$ を $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の線形結合で表すには、実数 $u, v$ を用いて

$\vec{a} = u\vec{b} + v\vec{c}$

と表す。すなわち、

$(1, 2) = u(3, 7) + v(4, 6)$

$(1, 2) = (3u + 4v, 7u + 6v)$

よって、以下の連立方程式を得る。

$3u + 4v = 1$

$7u + 6v = 2$

一つ目の式を7倍し、二つ目の式を3倍すると、

$7(3u + 4v) = 7(1)$

$3(7u + 6v) = 3(2)$

$21u + 28v = 7$

$21u + 18v = 6$

上の式から下の式を引くと、

$(21u + 28v) - (21u + 18v) = 7 - 6$

$10v = 1$

$v = \frac{1}{10}$

これを $3u + 4v = 1$ に代入すると、

$3u + 4(\frac{1}{10}) = 1$

$3u + \frac{2}{5} = 1$

$3u = 1 - \frac{2}{5}$

$3u = \frac{3}{5}$

$u = \frac{1}{5}$

したがって、$\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = 10\vec{a} - 2\vec{b}$

(2) $\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{10}\vec{c}$