## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. 2次元ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に対して、ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ との内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}$ を対応させる線形写像を表す行列を求めます。

2. 3次元ベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ に対して、ベクトル $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ との外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{x}$ を対応させる線形写像を表す行列を求めます。さらに、$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{a} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{x})$ を表す行列を求めます。

3. 空間内に、長さが等しく直交する2つのベクトル $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ があるとします。$\mathbf{a}$ を $\mathbf{b}$ の方に $\theta$ 回転したベクトルを $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \theta$ で表します。

4. ベクトル $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}$ を方向ベクトルとする軸のまわりに、$\theta$ 回転（回転の向きはねじを回転して、$\mathbf{n}$ の向きに進む方向とする）する変換を表す行列を求める公式を作ります。ただし、$\mathbf{n}$ の長さは1であるとします。

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2. 解き方の手順

### 問題1

内積 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{x}$ は $3x + 4y$ と書けます。線形写像 $T(\mathbf{x}) = 3x + 4y$ を行列で表現するために、基本ベクトル $\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の像を計算します。

$T(\mathbf{e}_1) = 3(1) + 4(0) = 3$

$T(\mathbf{e}_2) = 3(0) + 4(1) = 4$

したがって、この線形写像を表す行列は $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$ です。

### 問題2

外積 $\mathbf{a} \times \mathbf{x}$ は次のように計算できます。

$\mathbf{a} \times \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z + 2y \\ -2x - 2z \\ 2y - x \end{pmatrix}$

この線形写像を表す行列を $B$ とすると、$\mathbf{a} \times \mathbf{x} = B\mathbf{x}$ となります。基本ベクトル $\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の像を計算します。

$\mathbf{a} \times \mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

したがって、$B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ です。

次に、$\mathbf{x} \mapsto \mathbf{a} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{x})$ を表す行列を求めます。これは $B(B\mathbf{x}) = B^2 \mathbf{x}$ に対応するため、$B^2$ を計算します。

$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 & -4 \\ 2 & -8 & -2 \\ -4 & 2 & -5 \end{pmatrix}$

### 問題3

$\mathbf{a}$ を $\mathbf{b}$ の方向に $\theta$ 回転したベクトルを $\mathbf{a'}$ とすると、$\mathbf{a}, \mathbf{b}$ は直交する単位ベクトルなので、$\mathbf{a'} = \cos(\theta)\mathbf{a} + \sin(\theta)\mathbf{b}$ となります。

### 問題4

ロドリゲスの回転公式を使用します。$\mathbf{n}$ を回転軸方向の単位ベクトル、$\theta$ を回転角、$\mathbf{v}$ を回転させるベクトルとすると、回転後のベクトル $\mathbf{v'}$ は次のように表されます。

$\mathbf{v'} = \mathbf{v} \cos \theta + (\mathbf{n} \times \mathbf{v}) \sin \theta + \mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}) (1 - \cos \theta)$

この式を行列で表現するために、行列 $K$ を定義します。

$K = \begin{pmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{pmatrix}$

$\mathbf{n} \times \mathbf{v} = K \mathbf{v}$ となり、また $\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{n}^T \mathbf{v}$　と表現できるので、$\mathbf{n} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{n} (\mathbf{n}^T \mathbf{v}) = (\mathbf{n} \mathbf{n}^T) \mathbf{v}$となります。

したがって、回転行列 $R$ は以下のようになります。

$R = I \cos \theta + K \sin \theta + \mathbf{n} \mathbf{n}^T (1 - \cos \theta)$

ここで $I$ は単位行列です。展開すると

$R = \begin{pmatrix} \cos \theta + n_1^2(1-\cos \theta) & n_1n_2(1-\cos \theta) - n_3\sin \theta & n_1n_3(1-\cos \theta) + n_2\sin \theta \\ n_2n_1(1-\cos \theta) + n_3\sin \theta & \cos \theta + n_2^2(1-\cos \theta) & n_2n_3(1-\cos \theta) - n_1\sin \theta \\ n_3n_1(1-\cos \theta) - n_2\sin \theta & n_3n_2(1-\cos \theta) + n_1\sin \theta & \cos \theta + n_3^2(1-\cos \theta) \end{pmatrix}$

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3. 最終的な答え

1. $\begin{pmatrix} 3 & 4 \end{pmatrix}$

2. $\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -5 & 2 & -4 \\ 2 & -8 & -2 \\ -4 & 2 & -5 \end{pmatrix}$

3. $\cos(\theta)\mathbf{a} + \sin(\theta)\mathbf{b}$

4. $\begin{pmatrix} \cos \theta + n_1^2(1-\cos \theta) & n_1n_2(1-\cos \theta) - n_3\sin \theta & n_1n_3(1-\cos \theta) + n_2\sin \theta \\ n_2n_1(1-\cos \theta) + n_3\sin \theta & \cos \theta + n_2^2(1-\cos \theta) & n_2n_3(1-\cos \theta) - n_1\sin \theta \\ n_3n_1(1-\cos \theta) - n_2\sin \theta & n_3n_2(1-\cos \theta) + n_1\sin \theta & \cos \theta + n_3^2(1-\cos \theta) \end{pmatrix}$